与えられた行列式が $june (1 + \frac{1}{j} + \frac{1}{u} + \frac{1}{n} + \frac{1}{e})$ に等しいことを証明する問題です。行列式は次の通りです。 $\begin{vmatrix} j+1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & u+1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & n+1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & e+1 \end{vmatrix}$

代数学行列式行列式計算線形代数

2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた行列式が

june (1 + \frac{1}{j} + \frac{1}{u} + \frac{1}{n} + \frac{1}{e})

に等しいことを証明する問題です。行列式は次の通りです。

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算します。まず、1行目を

-1

倍して2, 3, 4行目に足します。

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

-j & u & 0 & 0 \\

-j & 0 & n & 0 \\

-j & 0 & 0 & e

\end{vmatrix}$

次に、1列目を

-1

倍して2, 3, 4列目に足します。

$\begin{vmatrix}

j+1 & -j & -j & -j \\

-j & j+u & j & j \\

-j & j & j+n & j \\

-j & j & j & j+e

\end{vmatrix}$

行列式を計算するため、1行目から

j

を引いて、2行目から

u

を引いて、3行目から

n

を引いて、4行目から

e

を引きます。

この行列式の値を計算するために、1行目で展開すると、

(j+1) \begin{vmatrix} u & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & e \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & n & 0 \\ 1 & 0 & e \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & u & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & e \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & u & 0 \\ 1 & 0 & n \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

= (j+1)(une) - (ne) + (1-u)e - (1(0-n) -u(1-n) + 0 )

= june + une - ne + e -ue + n + un - u

これは正しい式ではありません。

代わりに、行列式の定義を用いて、行列式を展開します。

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}

= (j+1) \begin{vmatrix} u+1 & 1 & 1 \\ 1 & n+1 & 1 \\ 1 & 1 & e+1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & n+1 & 1 \\ 1 & 1 & e+1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & u+1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & e+1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & u+1 & 1 \\ 1 & 1 & n+1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

この計算は非常に複雑になります。代わりに、以下の恒等式を利用します。

$\begin{vmatrix}

a+x & x & x & x \\

x & b+x & x & x \\

x & x & c+x & x \\

x & x & x & d+x

\end{vmatrix} = x^{4}(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x} + \frac{d}{x})$

この恒等式を行列に適用するために、与えられた行列の各要素から