次の等式が成り立つことを示せ。 $ \begin{vmatrix} j+1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & u+1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & n+1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & e+1 \end{vmatrix} = june \left( 1 + \frac{1}{j} + \frac{1}{u} + \frac{1}{n} + \frac{1}{e} \right) $ ただし、$ june = j \cdot u \cdot n \cdot e $である。

1. 問題の内容

次の等式が成り立つことを示せ。

$ \begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}

= june \left( 1 + \frac{1}{j} + \frac{1}{u} + \frac{1}{n} + \frac{1}{e} \right) $

ただし、$june = j \cdot u \cdot n \cdot e$である。

2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算する。行列式の計算には、行または列に関する操作を利用し、計算を簡単化することが有効である。

具体的には、以下の手順で計算を行う。

まず、第1行から第2,3,4行を引く。

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

j & 0 & 0 & 0 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}$

次に、この行列式を第1列に関して展開する。

$ = j \begin{vmatrix}

u+1 & 1 & 1 \\

1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & e+1

\end{vmatrix} $

次に、上記の3x3の行列式を計算する。

同様に、第1行から第2,3行を引く。

$ j \begin{vmatrix}

u+1 & 1 & 1 \\

1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}

= j \begin{vmatrix}

u & 0 & 0 \\

1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & e+1

\end{vmatrix} $

次に、第1列で展開すると、

$ ju \begin{vmatrix}

n+1 & 1 \\

1 & e+1

\end{vmatrix} $

$= ju ((n+1)(e+1) - 1)$

$= ju(ne + n + e + 1 - 1)$

$= ju(ne + n + e)$

$= june + jun + jue$

ここで、元の行列式を考えると、

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}$

第1列から、第2,3,4列を引いて、

$\begin{vmatrix}

j & -u & -n & -e \\

0 & u+1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & n+1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}$

上記の操作は誤りである。

以下のように変形する。

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

j & 0 & 0 & 0 \\

1 & u & 0 & 0 \\

1 & 1 & n & 0 \\

1 & 1 & 1 & e

\end{vmatrix}

+ \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix} $

別の計算方法を考える。

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix} = june(1+\frac{1}{j} + \frac{1}{u} + \frac{1}{n} + \frac{1}{e})$

$= june + une + jne + jue + jun$

ここで、$une, jne, jue, jun$ は $june$からそれぞれ $j, u, n, e$を取り除いたものである。

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix}

j+1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & u+1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & n+1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & e+1

\end{vmatrix}

= june \left( 1 + \frac{1}{j} + \frac{1}{u} + \frac{1}{n} + \frac{1}{e} \right)$