次の連立方程式が解を持たないときの、$a, b$ に関する条件を求める問題です。 $ \begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + y + z = -1 \\ ax + 2y - z = b \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立方程式が解を持たないときの、$a, b$ に関する条件を求める問題です。

$$

\begin{cases}

x + 2y - z = 2 \\

2x + y + z = -1 \\

ax + 2y - z = b

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 \\

2 & 1 & 1 \\

a & 2 & -1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

2 \\

-1 \\

b

\end{pmatrix}

$$

次に、拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 & 2 \\

2 & 1 & 1 & -1 \\

a & 2 & -1 & b

\end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 & 2 \\

0 & -3 & 3 & -5 \\

a & 2 & -1 & b

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目の$a$倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 & 2 \\

0 & -3 & 3 & -5 \\

0 & 2-2a & a-1 & b-2a

\end{pmatrix}

$$

3行目を3倍し、2行目の(2-2a)倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 & 2 \\

0 & -3 & 3 & -5 \\

0 & 0 & 3(a-1) - (2-2a)3 & 3(b-2a) - (2-2a)(-5)

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 & 2 \\

0 & -3 & 3 & -5 \\

0 & 0 & 3a-3 - 6 + 6a & 3b - 6a + 10 - 10a

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 & 2 \\

0 & -3 & 3 & -5 \\

0 & 0 & 9a-9 & 3b - 16a + 10

\end{pmatrix}

$$

連立方程式が解を持たないための条件は、

$9a - 9 = 0$ かつ $3b - 16a + 10 \neq 0$ となることです。

したがって、$a = 1$ かつ $3b - 16 + 10 \neq 0$ より、$3b - 6 \neq 0$ なので、$b \neq 2$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$ かつ $b \neq 2$