3点 $A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$、$C(\vec{c})$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、$BC = 4$, $CA = 5$, $AB = 6$ のとき、$\triangle ABC$ の内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{i}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す問題です。 $\vec{i} = \frac{(1) \vec{a} + (2) \vec{b} + (3) \vec{c}}{(4)}$

1. 問題の内容

3点 $A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$、$C(\vec{c})$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、$BC = 4$, $CA = 5$, $AB = 6$ のとき、$\triangle ABC$ の内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{i}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す問題です。

$\vec{i} = \frac{(1) \vec{a} + (2) \vec{b} + (3) \vec{c}}{(4)}$

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{i}$ は、以下のように表されます。

$\vec{i} = \frac{a \vec{A} + b \vec{B} + c \vec{C}}{a + b + c}$

ここで、$a = BC = 4$, $b = CA = 5$, $c = AB = 6$ です。

したがって、

$\vec{i} = \frac{4 \vec{a} + 5 \vec{b} + 6 \vec{c}}{4 + 5 + 6}$

$\vec{i} = \frac{4 \vec{a} + 5 \vec{b} + 6 \vec{c}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) 15