3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする$\triangle ABC$において、BC=7, CA=8, AB=9のとき、$\triangle ABC$の内心Iの位置ベクトル$\vec{i}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。$\vec{i} = \frac{(1)\vec{a} + (2)\vec{b} + (3)\vec{c}}{(4)}$の(1)～(4)を求める。

1. 問題の内容

3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする$\triangle ABC$において、BC=7, CA=8, AB=9のとき、$\triangle ABC$の内心Iの位置ベクトル$\vec{i}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。$\vec{i} = \frac{(1)\vec{a} + (2)\vec{b} + (3)\vec{c}}{(4)}$の(1)～(4)を求める。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$の内心Iの位置ベクトル$\vec{i}$は、

$\vec{i} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c}$

で表される。ここで、$a, b, c$はそれぞれ$\triangle ABC$の辺BC, CA, ABの長さを表す。

問題文より、$a = BC = 7, b = CA = 8, c = AB = 9$であるから、

$\vec{i} = \frac{7\vec{a} + 8\vec{b} + 9\vec{c}}{7+8+9} = \frac{7\vec{a} + 8\vec{b} + 9\vec{c}}{24}$

よって、

(1) = 7

(2) = 8

(3) = 9

(4) = 24

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 8

(3) 9

(4) 24