整数 $n$ に対して、命題「$n^3 + 2n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」を対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、命題「$n^3 + 2n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」を対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

対偶を利用するため、まず与えられた命題の対偶を考える。

元の命題：「$n^3 + 2n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」

対偶：「$n$ が3の倍数でないならば、$n^3 + 2n^2$ は3の倍数でない」

この対偶を証明する。$n$ が3の倍数でないとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて $3k+1$ または $3k+2$ と表される。

(i) $n = 3k+1$ のとき

\begin{align*}

n^3 + 2n^2 &= (3k+1)^3 + 2(3k+1)^2 \\

&= (27k^3 + 27k^2 + 9k + 1) + 2(9k^2 + 6k + 1) \\

&= 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 + 18k^2 + 12k + 2 \\

&= 27k^3 + 45k^2 + 21k + 3 \\

&= 3(9k^3 + 15k^2 + 7k + 1)

\end{align*}

これは3の倍数である。

(ii) $n = 3k+2$ のとき

\begin{align*}

n^3 + 2n^2 &= (3k+2)^3 + 2(3k+2)^2 \\

&= (27k^3 + 54k^2 + 36k + 8) + 2(9k^2 + 12k + 4) \\

&= 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 + 18k^2 + 24k + 8 \\

&= 27k^3 + 72k^2 + 60k + 16 \\

&= 27k^3 + 72k^2 + 60k + 15 + 1 \\

&= 3(9k^3 + 24k^2 + 20k + 5) + 1

\end{align*}

これは3の倍数ではない。

$n = 3k+1$ のとき、$n^3 + 2n^2$ は3の倍数である。これは対偶の否定になっている。

したがって、$n^3 + 2n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない、を示す必要がある。

$n$ が3の倍数でないとき、$n \equiv 1 \pmod{3}$ または $n \equiv 2 \pmod{3}$ である。

(i) $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、

$n^3 + 2n^2 \equiv 1^3 + 2(1^2) \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$

したがって、$n^3 + 2n^2$ は3の倍数。

(ii) $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、

$n^3 + 2n^2 \equiv 2^3 + 2(2^2) \equiv 8 + 8 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{3}$

したがって、$n^3 + 2n^2$ は3の倍数ではない。

したがって、$n^3 + 2n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない　が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n$ が3の倍数でないならば、$n^3 + 2n^2$ は3の倍数ではない。よって、対偶が真であるため、元の命題「$n^3 + 2n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」も真である。