加法定理を用いて $\cos\frac{11}{12}\pi$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて $\cos\frac{11}{12}\pi$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{11}{12}\pi$ を、$\frac{\pi}{4}$と$\frac{2\pi}{3}$の和で表します。

$\frac{11}{12}\pi = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$の加法定理を用いると、

$\cos\frac{11}{12}\pi = \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{2\pi}{3}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入します。

$\cos\frac{11}{12}\pi = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$