$(x+2)(x+1)(x-2)(x-1)$ を展開せよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、問題を解いていきます。

**問題1(1)**

1. 問題の内容

$(x+2)(x+1)(x-2)(x-1)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$ のように順番を入れ替えて計算すると、

$(x^2 - 4)(x^2 - 1) = x^4 - x^2 - 4x^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4$

3. 最終的な答え

$x^4 - 5x^2 + 4$

**問題1(2)**

1. 問題の内容

$8x^2 - 26xy + 15y^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$8x^2 - 26xy + 15y^2 = (4x - 3y)(2x - 5y)$

3. 最終的な答え

$(4x - 3y)(2x - 5y)$

**問題1(3)**

1. 問題の内容

$x^6 + 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^6 + 8 = (x^2)^3 + 2^3 = (x^2 + 2)(x^4 - 2x^2 + 4)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2)(x^4 - 2x^2 + 4)$

**問題1(4)**

1. 問題の内容

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3) = ((x^2+3) + 2x)((x^2+3) - 2x) = (x^2+3)^2 - (2x)^2 = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 9$

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^2 + 9$

**問題1(6)**

1. 問題の内容

$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

**問題1(7)**

1. 問題の内容

$x^3 + 4x^2 - x - 4$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^3 + 4x^2 - x - 4 = x^2(x+4) - (x+4) = (x^2-1)(x+4) = (x-1)(x+1)(x+4)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+1)(x+4)$

**問題2(1)**

1. 問題の内容

$x + x^{-1} = 5$ のとき、$x^4 + x^{-4}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x + \frac{1}{x} = 5$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 23^2 = 529$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 527$

3. 最終的な答え

527

**問題2(2)**

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 3$, $xy = \frac{1}{2}$ のとき、$(x-y)^{10}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3 - 2(\frac{1}{2}) = 3-1 = 2$

$(x-y)^{10} = ((x-y)^2)^5 = 2^5 = 32$

3. 最終的な答え

32

**問題3(2)**

1. 問題の内容

$\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2})^2 - (1 - \sqrt{2})^2}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{(1+2\sqrt{2}+2) - (1-2\sqrt{2}+2)}{1-2} = \frac{4\sqrt{2}}{-1} = -4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-4\sqrt{2}$

**問題3(4)**

1. 問題の内容

$\frac{3 + j2}{2 + j}$ を実数化せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{3 + j2}{2 + j} = \frac{(3 + 2j)(2 - j)}{(2 + j)(2 - j)} = \frac{6 - 3j + 4j - 2j^2}{4 - j^2} = \frac{6 + j + 2}{4 + 1} = \frac{8 + j}{5} = \frac{8}{5} + \frac{1}{5}j$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{5} + \frac{1}{5}j$

**問題4(1)**

1. 問題の内容

$\frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2}$ を部分分数に分解せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x + 3}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

$x + 3 = A(x + 2) + B(x + 1)$

$x = -1 \implies 2 = A(1) \implies A = 2$

$x = -2 \implies 1 = B(-1) \implies B = -1$

$\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$

**問題5(2)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}) = \frac{1}{2}[ (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})] = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = \frac{1}{2}(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}) = \frac{1}{4}(\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{(n+1)(n+2)}) = \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$