(1) $(5x - 4y)^2 - (3x + y)^2$ を因数分解し、 $(ax - by)(cx - dy)$ の形に変形する。ただし、$a > c$ とする。 (2) $x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(5x - 4y)^2 - (3x + y)^2$ を因数分解し、 $(ax - by)(cx - dy)$ の形に変形する。ただし、$a > c$ とする。

(2) $x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1)

二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を利用する。

$a = 5x - 4y$, $b = 3x + y$ とすると、

$(5x - 4y)^2 - (3x + y)^2 = (5x - 4y + 3x + y)(5x - 4y - (3x + y))$

$= (8x - 3y)(2x - 5y)$

条件より$a > c$である必要があるので、$8 > 2$を満たしている。

(2)

式を展開して整理する。

$x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y = x^2y - x^2 + xy^2 - y^2 - 2xy + x + y$

$= x^2y + xy^2 - 2xy - x^2 - y^2 + x + y$

$xy$でくくると、$xy(x+y-2) - x^2 - y^2 + x + y$となる。

この式を$(x-1)(y-1)(x+y)$の形に変形できるかどうか確認する。

$(x-1)(y-1)(-x-y)$とすると、$x=1, y=1$で$0$になるので違う。

$x$と$y$を入れ替えても式が変わらないので、対称式になっていることを利用する。

$x+y = s, xy=t$とおく。

$x^2y + xy^2 - 2xy - x^2 - y^2 + x + y = xy(x+y) - 2xy - (x+y)^2 + 2xy + x + y$

$=xy(x+y)-(x+y)^2+x+y=ts - s^2 + s = s(t - s + 1) = (x+y)(xy - (x+y) + 1)$

$= (x+y)(xy - x - y + 1) = (x+y)(x-1)(y-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(8x - 3y)(2x - 5y)$

(2) $(x+y)(x-1)(y-1)$