与えられた8つの式を展開または因数分解する問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた8つの式を展開または因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(x+2)(x+1)(x-2)(x-1)$

まず、$(x+2)(x-2)$と$(x+1)(x-1)$をそれぞれ計算します。

$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - 4)(x^2 - 1) = x^4 - x^2 - 4x^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4$

(2) $8x^2 - 26xy + 15y^2$

これは因数分解の問題です。たすき掛けを利用します。

$8x^2 - 26xy + 15y^2 = (4x - 3y)(2x - 5y)$

(3) $x^6 + 8$

$x^6 + 8 = (x^2)^3 + 2^3$と見て、和の3乗の公式を用います。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^6 + 8 = (x^2 + 2)(x^4 - 2x^2 + 4)$

(4) $(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$

$(x^2 + 3 + 2x)(x^2 + 3 - 2x)$と見て、$A = x^2 + 3$とおくと、

$(A + 2x)(A - 2x) = A^2 - (2x)^2 = (x^2 + 3)^2 - 4x^2 = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 9$

(5) $(x+y+z)^3 + (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$A = x+y+z$とおくと、

$A^3 + A(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = A [ A^2 + (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)]$

ここで、$A^2 = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$なので、

$A [ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx + x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx ] = A [ 2(x^2+y^2+z^2) + xy + yz + zx]$

$= (x+y+z)[2(x^2+y^2+z^2) + xy + yz + zx] = 2x^3 + 2y^3 + 2z^3 - x^2y -x^2z - y^2x - y^2z -z^2x - z^2y + 6xyz$

この式はさらに因数分解できて、$2(x^3+y^3+z^3-3xyz) + (x+y+z)(xy+yz+zx) = 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + (x+y+z)(xy+yz+zx) = (x+y+z)[2x^2+2y^2+2z^2 -2xy-2yz-2zx+xy+yz+zx] = (x+y+z)[2x^2+2y^2+2z^2 -xy-yz-zx+xy+yz+zx]$

したがって、$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$.

(6) $x^4 + x^2 + 1$

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(7) $x^3 + 4x^2 - x - 4$

$x^2(x+4) - (x+4) = (x^2 - 1)(x+4) = (x-1)(x+1)(x+4)$

(8) $4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$

$P(x) = 4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$とすると、$P(1/2) = 4(1/8) + 4(1/4) - 7(1/2) + 2 = 1/2 + 1 - 7/2 + 2 = 0$

したがって、$2x-1$を因数に持ちます。

$4x^3 + 4x^2 - 7x + 2 = (2x-1)(2x^2 + 3x -2) = (2x-1)(2x-1)(x+2) = (2x-1)^2(x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 5x^2 + 4$

(2) $(4x - 3y)(2x - 5y)$

(3) $(x^2 + 2)(x^4 - 2x^2 + 4)$

(4) $x^4 + 2x^2 + 9$

(5) $(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx)$

(6) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(7) $(x-1)(x+1)(x+4)$

(8) $(2x-1)^2(x+2)$