問題は、多項式 $(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)$ の3乗根の逆数を求めるものです。つまり、次の式を計算します。 $(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{\frac{3}{-1}} = (\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{-3}$

1. 問題の内容

問題は、多項式 $(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)$ の3乗根の逆数を求めるものです。つまり、次の式を計算します。

$(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{\frac{3}{-1}} = (\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{-3}$

2. 解き方の手順

この問題は、$(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{-3}$を計算することです。

しかし、この式を直接計算するのは非常に複雑です。問題文に意図された解き方があるかどうかを確認するために、まず多項式を因数分解してみます。

$\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x = x(\frac{x^3}{4} - \frac{5}{3}x^2 + \frac{3}{2}x + 9)$

$x$をくくりだしただけでは、これ以上の因数分解は難しそうです。

問題文に与えられた式全体を３乗根の逆数にすることを考えると、$x=3$の場合に中身がうまく計算できる可能性があります。

$x=3$のとき、

$\frac{3^4}{4} - \frac{5}{3}3^3 + \frac{3}{2}3^2 + 9*3 = \frac{81}{4} - 45 + \frac{27}{2} + 27 = \frac{81}{4} - 18 + \frac{54}{4} = \frac{135}{4} - \frac{72}{4} = \frac{63}{4}$

$x=3$の場合でも、簡単な値になりませんでした。

多項式全体を-3乗するのは非常に複雑なため、この問題は現時点では解くことができません。

ただし、質問は「解いてください」となっているため、形式的に計算を終えることを目指します。

$(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{-3} = \frac{1}{(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(\frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x)^{3}}$