$x+y+z \neq 0$ かつ $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ のとき、$x, y, z$ のどれも0ではないことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$x+y+z \neq 0$ かつ $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ のとき、$x, y, z$ のどれも0ではないことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

まず、$x, y, z$ のうち少なくとも一つが0であると仮定します。

例えば、$x = 0$ と仮定すると、与えられた条件は以下のようになります。

$y + z \neq 0$ かつ $y^3 + z^3 = 0$

$y^3 + z^3 = (y+z)(y^2 - yz + z^2) = 0$

ここで、$y + z \neq 0$ なので、$y^2 - yz + z^2 = 0$でなければなりません。

$y^2 - yz + z^2 = 0$

この式を変形すると、

$(y - \frac{1}{2}z)^2 + \frac{3}{4}z^2 = 0$

この式が成り立つのは、$y - \frac{1}{2}z = 0$ かつ $z = 0$ のときのみです。

したがって、$y = z = 0$となります。

しかし、これは $y+z \neq 0$ に矛盾します。

$y=0$または$z=0$の場合も同様に矛盾が導かれます。

したがって、$x, y, z$ のどれも0ではないことが証明されました。

3. 最終的な答え

$x+y+z \neq 0$ かつ $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ ならば、$x, y, z$ のどれも0ではない。