与えられた各組の数を小さい順に並べ替える。 (1) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{7}$ (2) $9^{1.5}$, $3^{3.2}$, $(\sqrt{3})^{4.8}$ (3) $\log_2 3$, $1.5$, $\log_4 10$

1. 問題の内容

与えられた各組の数を小さい順に並べ替える。

(1) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{7}$

(2) $9^{1.5}$, $3^{3.2}$, $(\sqrt{3})^{4.8}$

(3) $\log_2 3$, $1.5$, $\log_4 10$

2. 解き方の手順

(1) 指数の形に変換し、指数をそろえる。

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}}$

$\sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{12}} = (2^6)^{\frac{1}{12}} = 64^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{2}{12}} = (7^2)^{\frac{1}{12}} = 49^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[3]{3} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = 81^{\frac{1}{12}}$

よって、

$\sqrt[4]{4} = 64^{\frac{1}{12}}$, $\sqrt[6]{7} = 49^{\frac{1}{12}}$, $\sqrt[3]{3} = 81^{\frac{1}{12}}$

したがって、$\sqrt[6]{7} < \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$

(2) 全て3の累乗の形にする。

$9^{1.5} = (3^2)^{1.5} = 3^{3}$

$3^{3.2} = 3^{3.2}$

$(\sqrt{3})^{4.8} = (3^{\frac{1}{2}})^{4.8} = 3^{\frac{4.8}{2}} = 3^{2.4}$

したがって、$3^{2.4} < 3^3 < 3^{3.2}$

$(\sqrt{3})^{4.8} < 9^{1.5} < 3^{3.2}$

(3) 全て底を2の対数に変換する。

$\log_2 3 = \log_2 3$

$1.5 = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \log_2 2 = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \log_2 \sqrt{2^3} = \log_2 \sqrt{8} = \log_2 2\sqrt{2}$

$\log_4 10 = \frac{\log_2 10}{\log_2 4} = \frac{\log_2 10}{2} = \frac{1}{2} \log_2 10 = \log_2 \sqrt{10}$

$\sqrt{8} \approx 2.828$, $\sqrt{10} \approx 3.162$

$2\sqrt{2} \approx 2.828$

したがって、$\log_2 3 < 1.5 < \log_4 10$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[6]{7} < \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$

(2) $(\sqrt{3})^{4.8} < 9^{1.5} < 3^{3.2}$

(3) $\log_2 3 < 1.5 < \log_4 10$