$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ の公式を利用して分子を変形します。

$\sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x \cos x}{\sin 2x}$

$x \to 0$ のとき $\sin 2x \neq 0$ であるから、$\sin 2x$ で約分できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x \cos x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} 2 \cos x$

$\cos x$ は連続関数なので、

$\lim_{x \to 0} 2 \cos x = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

2