定数変化法を用いて、微分方程式 $y' + 3y - \sin x = 0$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

定数変化法を用いて、微分方程式 $y' + 3y - \sin x = 0$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は $y' + 3y = \sin x$ と書ける。

まず、対応する同次方程式 $y' + 3y = 0$ を解く。

特性方程式は $r + 3 = 0$ となり、$r = -3$ を得る。

したがって、同次方程式の一般解は $y_h = C e^{-3x}$ となる。ここで、$C$は任意定数。

次に、定数変化法を用いる。

$y = C(x) e^{-3x}$ と仮定する。

これを微分すると $y' = C'(x) e^{-3x} - 3C(x) e^{-3x}$ となる。

これらを元の微分方程式に代入する。

$C'(x) e^{-3x} - 3C(x) e^{-3x} + 3C(x) e^{-3x} = \sin x$

$C'(x) e^{-3x} = \sin x$

$C'(x) = e^{3x} \sin x$

$C(x)$ を求めるために積分する。

$C(x) = \int e^{3x} \sin x \, dx$

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{3x} \sin x \, dx = e^{3x} (-\cos x) - \int 3e^{3x} (-\cos x) \, dx = -e^{3x} \cos x + 3\int e^{3x} \cos x \, dx$

$I = -e^{3x} \cos x + 3(e^{3x} \sin x - \int 3e^{3x} \sin x \, dx) = -e^{3x} \cos x + 3e^{3x} \sin x - 9\int e^{3x} \sin x \, dx$

$I = -e^{3x} \cos x + 3e^{3x} \sin x - 9I$

$10I = -e^{3x} \cos x + 3e^{3x} \sin x$

$I = \frac{e^{3x}}{10} (3\sin x - \cos x) + K$

したがって、$C(x) = \frac{e^{3x}}{10} (3\sin x - \cos x) + K$ (Kは積分定数)

$y = C(x) e^{-3x} = (\frac{e^{3x}}{10} (3\sin x - \cos x) + K) e^{-3x} = \frac{1}{10}(3\sin x - \cos x) + K e^{-3x}$

3. 最終的な答え

微分方程式 $y' + 3y - \sin x = 0$ の一般解は $y = \frac{1}{10}(3\sin x - \cos x) + C e^{-3x}$ （$C$は任意定数）