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以下の3つの2階線形同次微分方程式の一般解を求めます。ただし、$x$は独立変数、$y(x)$は実数値関数とし、最終的な解は複素数を含まない形で表します。 (a) $4y'' + 2y' + y = 0$ (b) $3y'' + 4y' - y = 0$ (c) $5y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0$

解析学微分方程式線形微分方程式一般解特性方程式
2025/6/16

1. 問題の内容

以下の3つの2階線形同次微分方程式の一般解を求めます。ただし、xxは独立変数、y(x)y(x)は実数値関数とし、最終的な解は複素数を含まない形で表します。
(a) 4y′′+2y′+y=04y'' + 2y' + y = 0
(b) 3y′′+4y′−y=03y'' + 4y' - y = 0
(c) 5y′′+45y′+4y=05y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0

2. 解き方の手順

これらの微分方程式は定数係数を持つ2階線形同次微分方程式であるため、特性方程式を利用して解きます。
(a) 4y′′+2y′+y=04y'' + 2y' + y = 0
特性方程式は 4r2+2r+1=04r^2 + 2r + 1 = 0 となります。
この方程式を解くと、
r=−2±22−4⋅4⋅12⋅4=−2±−128=−2±2i38=−14±i34r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8} = -\frac{1}{4} \pm i\frac{\sqrt{3}}{4}
したがって、一般解は
y(x)=e−14x(c1cos⁡(34x)+c2sin⁡(34x))y(x) = e^{-\frac{1}{4}x}(c_1\cos(\frac{\sqrt{3}}{4}x) + c_2\sin(\frac{\sqrt{3}}{4}x)) となります。
(b) 3y′′+4y′−y=03y'' + 4y' - y = 0
特性方程式は 3r2+4r−1=03r^2 + 4r - 1 = 0 となります。
この方程式を解くと、
r=−4±42−4⋅3⋅(−1)2⋅3=−4±16+126=−4±286=−4±276=−2±73r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}
したがって、一般解は
y(x)=c1e−2+73x+c2e−2−73xy(x) = c_1e^{\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}x} + c_2e^{\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}x} となります。
(c) 5y′′+45y′+4y=05y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0
特性方程式は 5r2+45r+4=05r^2 + 4\sqrt{5}r + 4 = 0 となります。
この方程式を解くと、
r=−45±(45)2−4⋅5⋅42⋅5=−45±80−8010=−45±010=−255r = \frac{-4\sqrt{5} \pm \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5} = \frac{-4\sqrt{5} \pm \sqrt{80 - 80}}{10} = \frac{-4\sqrt{5} \pm 0}{10} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
これは重根の場合なので、一般解は
y(x)=c1e−255x+c2xe−255xy(x) = c_1e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} + c_2xe^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} となります。

3. 最終的な答え

(a) y(x)=e−14x(c1cos⁡(34x)+c2sin⁡(34x))y(x) = e^{-\frac{1}{4}x}(c_1\cos(\frac{\sqrt{3}}{4}x) + c_2\sin(\frac{\sqrt{3}}{4}x))
(b) y(x)=c1e−2+73x+c2e−2−73xy(x) = c_1e^{\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}x} + c_2e^{\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}x}
(c) y(x)=c1e−255x+c2xe−255xy(x) = c_1e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} + c_2xe^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}

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