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問題は5つの分数式の分母を有理化または実数化することと、複素数の絶対値を求めることです。 各問題は以下の通りです。 1. $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}$

代数学有理化複素数絶対値根号
2025/6/16

1. 問題の内容

問題は5つの分数式の分母を有理化または実数化することと、複素数の絶対値を求めることです。
各問題は以下の通りです。

1. $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}$

2. $\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} - \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

3. $\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}}$

4. $\frac{3+j2}{2+j}$ (ここで$j$は虚数単位)

5. $\left| \frac{3+j2}{2+j} \right|$ (ここで$j$は虚数単位)

2. 解き方の手順

1. $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}$

分母の有理化を行います。分母の共役な式a2+1−a2−1\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}を分子と分母にかけます。
a(a2+1−a2−1)(a2+1+a2−1)(a2+1−a2−1)=a(a2+1−a2−1)(a2+1)−(a2−1)=a(a2+1−a2−1)2\frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1})(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})} = \frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{(a^2+1)-(a^2-1)} = \frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{2}

2. $\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} - \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

各項の分母を有理化します。
(1+2)2(1−2)(1+2)−(1−2)2(1+2)(1−2)=1+22+21−2−1−22+21−2=3+22−1−3−22−1=−3−22+3−22=−42\frac{(1+\sqrt{2})^2}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} - \frac{(1-\sqrt{2})^2}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1+2\sqrt{2}+2}{1-2} - \frac{1-2\sqrt{2}+2}{1-2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{-1} - \frac{3-2\sqrt{2}}{-1} = -3-2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}

3. $\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}}$

まず、3+22\sqrt{3+2\sqrt{2}}と3−22\sqrt{3-2\sqrt{2}}を簡略化します。
3+22=(1+2)23+2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2と3−22=(2−1)23-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2であるため、
3+22=1+2\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}と3−22=2−1\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1となります。
したがって、1(1+2)+(2−1)=122=24\frac{1}{(1+\sqrt{2})+(\sqrt{2}-1)} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}

4. $\frac{3+j2}{2+j}$

分母を実数化します。分母の共役な複素数2−j2-jを分子と分母にかけます。
(3+j2)(2−j)(2+j)(2−j)=6−3j+4j−2j24−j2=6+j+24+1=8+j5=85+15j\frac{(3+j2)(2-j)}{(2+j)(2-j)} = \frac{6-3j+4j-2j^2}{4-j^2} = \frac{6+j+2}{4+1} = \frac{8+j}{5} = \frac{8}{5}+\frac{1}{5}j

5. $\left| \frac{3+j2}{2+j} \right|$

3+j22+j\frac{3+j2}{2+j}の絶対値を求めます。まず、4の結果を利用して3+j22+j=85+15j\frac{3+j2}{2+j} = \frac{8}{5}+\frac{1}{5}jとします。
∣3+j22+j∣=∣85+15j∣=(85)2+(15)2=6425+125=6525=135=655\left| \frac{3+j2}{2+j} \right| = \left| \frac{8}{5}+\frac{1}{5}j \right| = \sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{25}+\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{65}{25}} = \sqrt{\frac{13}{5}} = \frac{\sqrt{65}}{5}

3. 最終的な答え

1. $\frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{2}$

2. $-4\sqrt{2}$

3. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

4. $\frac{8}{5}+\frac{1}{5}j$

5. $\frac{\sqrt{65}}{5}$

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