問題は、2つの2次関数について、最大値または最小値があればそれを求め、さらに $x=4$ で最大値をとる2次関数を1つ求めるというものです。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $y = 2(x-3)^2 + 4$ の最大値または最小値 (2) $y = -2(x+1)^2 - 3$ の最大値または最小値 (3) $x=4$ で最大値をとる2次関数の例

1. 問題の内容

問題は、2つの2次関数について、最大値または最小値があればそれを求め、さらに $x=4$ で最大値をとる2次関数を1つ求めるというものです。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $y = 2(x-3)^2 + 4$ の最大値または最小値

(2) $y = -2(x+1)^2 - 3$ の最大値または最小値

(3) $x=4$ で最大値をとる2次関数の例

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x-3)^2 + 4$ について:

この関数は、平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ をしています。$a > 0$ なので、下に凸のグラフになります。

頂点は$(3, 4)$です。

したがって、$x = 3$ のとき最小値 $4$ をとります。最大値はありません。

(2) $y = -2(x+1)^2 - 3$ について:

この関数も、平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ をしています。$a < 0$ なので、上に凸のグラフになります。

頂点は$(-1, -3)$です。

したがって、$x = -1$ のとき最大値 $-3$ をとります。最小値はありません。

(3) $x=4$ で最大値をとる2次関数について:

$x=4$ で最大値をとるということは、頂点の $x$ 座標が4であることを意味します。一般形は $y = a(x-4)^2 + q$ （$a < 0$）で表されます。

$a$ と $q$ に具体的な値を代入することで、そのような2次関数を1つ作ることができます。

たとえば、$a = -1$、$q = 0$ とすると、$y = -(x-4)^2$ となります。これは $x=4$ のとき最大値 $0$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 4 (x=3のとき), 最大値: なし

(2) 最大値: -3 (x=-1のとき), 最小値: なし

(3) 例: $y = -(x-4)^2$ ($y = -x^2 + 8x - 16$ でも可)