与えられた3つの分数式を部分分数に分解する問題です。 (1) $\frac{x+3}{x^2 + 3x + 2}$ (2) $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2 - x + 1)}$ (3) $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの分数式を部分分数に分解する問題です。

(1) $\frac{x+3}{x^2 + 3x + 2}$

(2) $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2 - x + 1)}$

(3) $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x+3}{x^2 + 3x + 2}$ の場合：

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

したがって、与式は

$\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}$

部分分数分解すると、

$\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛けると、

$x+3 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、 $2 = A(1) + B(0)$ より $A = 2$

$x = -2$ のとき、 $1 = A(0) + B(-1)$ より $B = -1$

よって、$\frac{x+3}{x^2 + 3x + 2} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2 - x + 1)}$ の場合：

部分分数分解すると、

$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$

両辺に $(x+2)(x^2 - x + 1)$ を掛けると、

$4x+1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx+C)(x+2)$

$4x+1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C$

$4x+1 = (A+B)x^2 + (-A+2B+C)x + (A+2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-A+2B+C = 4$

$A+2C = 1$

$A = -B$ なので、 $-(-B) + 2B + C = 4$ より $3B+C = 4$

$A = -B$ なので、 $-B+2C = 1$ より $2C = B+1$, $C = \frac{B+1}{2}$

$3B + \frac{B+1}{2} = 4$

$6B + B + 1 = 8$

$7B = 7$

$B = 1$

$A = -1$

$C = \frac{1+1}{2} = 1$

よって、$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2 - x + 1)} = \frac{-1}{x+2} + \frac{x+1}{x^2 - x + 1}$

(3) $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$ の場合：

部分分数分解すると、

$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

両辺に $(x+2)(x+1)^2$ を掛けると、

$x = A(x+1)^2 + B(x+2)(x+1) + C(x+2)$

$x = A(x^2+2x+1) + B(x^2+3x+2) + C(x+2)$

$x = Ax^2+2Ax+A + Bx^2+3Bx+2B + Cx+2C$

$x = (A+B)x^2 + (2A+3B+C)x + (A+2B+2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$2A+3B+C = 1$

$A+2B+2C = 0$

$A = -B$ なので、 $2(-B)+3B+C = 1$ より $B+C = 1$

$A = -B$ なので、 $-B+2B+2C = 0$ より $B+2C = 0$

$B+C = 1$ より $B = 1-C$

$(1-C)+2C = 0$ より $1+C = 0$, $C = -1$

$B = 1 - (-1) = 2$

$A = -2$

よって、$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{-1}{x+2} + \frac{x+1}{x^2 - x + 1}$

(3) $\frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$