(1) と (2) の4x4行列式の値を計算し、与えられた4x4行列式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

(1) と (2) の4x4行列式の値を計算し、与えられた4x4行列式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) の行列式

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

まず、3行目の定数倍を他の行に足し引きして、行列式の計算を簡略化することを試みます。

1行目から3行目の5倍を引きます。2行目に3行目の3倍を足します。4行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{vmatrix} 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

1列目で展開します。

$1 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -1 & -31 \\ 1 & -2 & 11 \\ -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

この3x3の行列式を計算します。

$-7((-2)(-9) - (11)(1)) - (-1)((1)(-9) - (11)(-1)) + (-31)((1)(1) - (-2)(-1))$

$-7(18 - 11) + 1(-9 + 11) - 31(1 - 2)$

$-7(7) + 1(2) - 31(-1)$

$-49 + 2 + 31 = -16$

(2) の行列式

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

まずは、行または列の操作によって、なるべく多くの0を作ることを目指します。

4列目に1列目を足します。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -3 \\ 3 & 6 & 1 & -3 \\ -2 & -7 & -4 & 1 \\ 1 & 8 & 1 & -3 \end{vmatrix}$

計算が複雑になるので、サラスの公式ではなく、余因子展開を利用して計算します。

計算すると-455

行列式の因数分解

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

1列目から2列目を引きます。

$\begin{vmatrix} x-y & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-x & x & y & x \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} x-y & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ 0 & x & y & x \end{vmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y & x-y \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ 0 & x & y & x \end{vmatrix}$

1行目で展開します。

$(x-y) \begin{vmatrix} x-y & y & y \\ 0 & y & x \\ 0 & x & x \end{vmatrix} -(x-y) \begin{vmatrix} x-y & y & y \\ 0 & y & y \\ 0 & x & y \end{vmatrix}$

$(x-y)(x-y) \begin{vmatrix} y & x \\ x & x \end{vmatrix} -(x-y)(x-y) \begin{vmatrix} y & y \\ x & y \end{vmatrix}$

$(x-y)^2 (yx-x^2) - (x-y)^2 (y^2-xy)$

$(x-y)^2 (yx-x^2 - y^2 + xy)$

$(x-y)^2 (2xy-x^2 - y^2)$

$-(x-y)^2 (x^2 - 2xy + y^2)$

$-(x-y)^2 (x-y)^2$

$-(x-y)^4$

3. 最終的な答え

(1) -16

(2) -455

行列式の因数分解：$-(x-y)^4$