問題4は分数式を部分分数に分解する問題、問題5は数列の和を計算する問題です。具体的には、以下の通りです。 * **問題4** 1. $\frac{x+3}{x^2+3x+2}$ を部分分数に分解する。 2. $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)}$ を部分分数に分解する。 3. $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$ を部分分数に分解する。 * **問題5** 1. $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を計算する。 2. $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を計算する。

はい、承知いたしました。問題4と問題5の全ての問題を解きます。

1. 問題の内容

問題4は分数式を部分分数に分解する問題、問題5は数列の和を計算する問題です。具体的には、以下の通りです。

* **問題4**

1. $\frac{x+3}{x^2+3x+2}$ を部分分数に分解する。

2. $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)}$ を部分分数に分解する。

3. $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$ を部分分数に分解する。

* **問題5**

1. $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を計算する。

2. $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を計算する。

2. 解き方の手順

* **問題4-1**

1. 分母を因数分解する: $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

2. 部分分数分解の形を仮定する: $\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

3. 両辺に $(x+1)(x+2)$ をかける: $x+3 = A(x+2) + B(x+1)$

4. $x = -1$ を代入すると $2 = A$, $x = -2$ を代入すると $1 = -B$ より $B = -1$

5. よって、$\frac{x+3}{x^2+3x+2} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

* **問題4-2**

1. 部分分数分解の形を仮定する: $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

2. 両辺に $(x+2)(x^2-x+1)$ をかける: $4x+1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+2)$

3. $x = -2$ を代入すると $-7 = 7A$ より $A = -1$

4. $4x+1 = -(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+2)$ を整理すると、 $5x+2 = (Bx+C)(x+2) = Bx^2 + (2B+C)x + 2C$

5. 係数比較により、$B=1, 2B+C = 5 \implies C=3$

6. よって、$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)} = -\frac{1}{x+2} + \frac{x+3}{x^2-x+1}$

* **問題4-3**

1. 部分分数分解の形を仮定する: $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

2. 両辺に $(x+2)(x+1)^2$ をかける: $x = A(x+1)^2 + B(x+2)(x+1) + C(x+2)$

3. $x = -2$ を代入すると $-2 = A$, $x = -1$ を代入すると $-1 = C$

4. $x = -A(x+1)^2 + B(x+2)(x+1) + C(x+2)$ を整理すると、$x = -2(x^2 + 2x + 1) + B(x^2+3x+2) - x - 2 \implies 2x^2 + 4x+2+x+2 + x = Bx^2 + 3Bx + 2B \implies 2x^2+6x+4 = Bx^2 + 3Bx + 2B$

5. 係数比較により、$2 = B$, $3 = 6$, $2B=4$ より $B=2$

6. よって、$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = -\frac{2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

* **問題5-1**

1. $\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} + \frac{D}{k+3}$ と部分分数分解する代わりに、以下の式を利用する。

$\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)})$

2. $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)})$

3. この和はtelescoping sumになるので、

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1\cdot2\cdot3} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{6} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)})$

4. $\frac{1}{3} (\frac{(n+1)(n+2)(n+3)-6}{6(n+1)(n+2)(n+3)}) = \frac{1}{18} (\frac{(n+1)(n+2)(n+3)-6}{(n+1)(n+2)(n+3)}) = \frac{1}{18} \frac{n^3 + 6n^2+11n}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{n(n^2 + 6n+11)}{18(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{n(n+3)^2 + 2n}{18(n+1)(n+2)(n+3)}$

* **問題5-2**

1. $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ と部分分数分解する。

2. $1 = A(k+2) + Bk$

3. $k = 0$ を代入すると $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$, $k = -2$ を代入すると $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

4. よって、$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

5. $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

6. この和はtelescoping sumになるので、

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = \frac{1}{2}(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)})$

7. $\frac{1}{2}(\frac{3(n^2+3n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}) = \frac{1}{4} \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

* **問題4-1**

$\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

* **問題4-2**

$-\frac{1}{x+2} + \frac{x+3}{x^2-x+1}$

* **問題4-3**

$-\frac{2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

* **問題5-1**

$\frac{n(n+3n+5n)}{18(n+1)(n+2)(n+3)}$

$\frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n+1)(n+2)(n+3)}$

$\frac{n(n^2+6n+11)}{18(n^3+6n^2+11n+6)}$

* **問題5-2**

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

$\frac{3n^2 + 5n}{4(n^2 + 3n + 2)}$