三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、以下の値を求めます。 (1) $\cos A$ の値 (2) $\sin A$ の値 (3) 面積$S$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、以下の値を求めます。

(1) $\cos A$ の値

(2) $\sin A$ の値

(3) 面積$S$

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ の値を求める

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$が成り立ちます。

この式を$\cos A$について解くと、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

となります。

$a=2$, $b=3$, $c=4$を代入すると、

$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

(2) $\sin A$ の値を求める

三角関数の相互関係より、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$が成り立ちます。

したがって、$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$となります。

$\cos A = \frac{7}{8}$を代入すると、

$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

(3) 面積$S$を求める

三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$となります。

$b=3$, $c=4$, $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{8}$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{12}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = \frac{7}{8}$

(2) $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{8}$

(3) $S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$