与えられた6つの微分方程式の一般解を、変数分離法を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた6つの微分方程式の一般解を、変数分離法を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) $y' = y$

変数分離を行うと、 $\frac{dy}{y} = dx$ となる。

両辺を積分すると、 $\int \frac{dy}{y} = \int dx$

$\ln|y| = x + C_1$ (C1は積分定数)

$|y| = e^{x+C_1} = e^{C_1}e^x$

$y = \pm e^{C_1}e^x = Ce^x$ (Cは任意の定数)

(2) $y' = (1-y)^2$

変数分離を行うと、 $\frac{dy}{(1-y)^2} = dx$ となる。

両辺を積分すると、 $\int \frac{dy}{(1-y)^2} = \int dx$

$\frac{1}{1-y} = x + C$ (Cは積分定数)

$1 = (x+C)(1-y)$

$1-y = \frac{1}{x+C}$

$y = 1 - \frac{1}{x+C}$

(3) $e^{x+y}dx + dy = 0$

$dy = -e^{x+y}dx = -e^xe^ydx$

変数分離を行うと、 $\frac{dy}{e^y} = -e^xdx$ となる。

両辺を積分すると、 $\int e^{-y}dy = -\int e^xdx$

$-e^{-y} = -e^x + C$ (Cは積分定数)

$e^{-y} = e^x - C$

$-y = \ln(e^x - C)$

$y = -\ln(e^x - C)$

(4) $y(1+x^2)dy = xdx$

変数分離を行うと、 $ydy = \frac{x}{1+x^2}dx$ となる。

両辺を積分すると、 $\int ydy = \int \frac{x}{1+x^2}dx$

$\frac{y^2}{2} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_1$ (C1は積分定数)

$y^2 = \ln(1+x^2) + C$ (Cは任意の定数)

$y = \pm\sqrt{\ln(1+x^2) + C}$

(5) $y' = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

$dy = \frac{1}{x}dx$

両辺を積分すると、 $\int dy = \int \frac{1}{x}dx$

$y = \ln|x| + C$ (Cは積分定数)

(6) $y' = 2xy$

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

変数分離を行うと、 $\frac{dy}{y} = 2xdx$ となる。

両辺を積分すると、 $\int \frac{dy}{y} = \int 2xdx$

$\ln|y| = x^2 + C_1$ (C1は積分定数)

$|y| = e^{x^2+C_1} = e^{C_1}e^{x^2}$

$y = \pm e^{C_1}e^{x^2} = Ce^{x^2}$ (Cは任意の定数)

3. 最終的な答え

(1) $y = Ce^x$

(2) $y = 1 - \frac{1}{x+C}$

(3) $y = -\ln(e^x - C)$

(4) $y = \pm\sqrt{\ln(1+x^2) + C}$

(5) $y = \ln|x| + C$

(6) $y = Ce^{x^2}$