## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた2つの関数の最大値と最小値を求める問題と、二等辺三角形に関する問題を解きます。

(1) 関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

(2) 関数 $y = x\sin x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値を求めます。

(3) $AB=AC$, $\angle BAC = 2\theta$ である二等辺三角形ABCが、半径1の円Oに内接している。$\theta$が変化するとき、この三角形の周の長さの最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) 関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ の最大値と最小値**

まず、定義域を考えます。根号の中身は0以上でなければならないので、$4-x^2 \ge 0$ より、$x^2 \le 4$ となり、$-2 \le x \le 2$ です。

次に、関数を微分して増減を調べます。

$y' = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2 - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = 0$ となるのは、$4-2x^2 = 0$ のとき、つまり $x^2 = 2$ より、$x = \pm \sqrt{2}$ です。

増減表は以下のようになります。

| x | -2 | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | $\sqrt{2}$ | ... | 2 |

|-------------|---------|------------|-------------|------------|------------|------------|---------|

| y' | | - | 0 | + | 0 | - | |

| y | 0 | $\searrow$ | -2 | $\nearrow$ | 2 | $\searrow$ | 0 |

したがって、$x = \sqrt{2}$ のとき最大値 $y = \sqrt{2}\sqrt{4-2} = 2$ をとり、$x = -\sqrt{2}$ のとき最小値 $y = -\sqrt{2}\sqrt{4-2} = -2$ をとります。

**(2) 関数 $y = x\sin x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値と最小値**

微分して増減を調べます。

$y' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | 0 | ... | $\frac{\pi}{2}$ | ... | $\frac{3\pi}{2}$ | ... | $2\pi$ |

|---------------|-------|------------|-----------------|--------------|-------------------|------------|----------|

| y' | 0 | + | 0 | - | 0 | + | $2\pi$ |

| y | 1 | $\nearrow$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\searrow$ | $-\frac{3\pi}{2}$ | $\nearrow$ | 1 |

したがって、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $\frac{\pi}{2}$ をとり、$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき最小値 $-\frac{3\pi}{2}$ をとります。

**(3) 二等辺三角形ABCの周の長さの最大値**

半径1の円に内接する二等辺三角形ABCにおいて、$AB = AC$ および $\angle BAC = 2\theta$ である。

このとき、$\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi - 2\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \theta$ となる。

正弦定理より、$BC = 2\sin(2\theta)$, $AB = AC = 2\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = 2\cos\theta$ となる。

周の長さ$L$は、$L = BC + AB + AC = 2\sin(2\theta) + 4\cos\theta = 4\sin\theta\cos\theta + 4\cos\theta = 4\cos\theta(\sin\theta + 1)$

$L' = 4(-\sin\theta(\sin\theta + 1) + \cos\theta\cos\theta) = 4(-\sin^2\theta - \sin\theta + \cos^2\theta) = 4(1-2\sin^2\theta - \sin\theta) = 4(-2\sin^2\theta - \sin\theta + 1) = -4(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1)$

$L'=0$ となるのは、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ または $\sin\theta = -1$。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin\theta = \frac{1}{2}$, つまり $\theta = \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき、$L = 4\cos(\frac{\pi}{6})(\sin(\frac{\pi}{6}) + 1) = 4\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{1}{2} + 1) = 2\sqrt{3}\frac{3}{2} = 3\sqrt{3}$

$\theta \to 0$ のとき、$L \to 4$

$\theta \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$L \to 0$

したがって、最大値は$3\sqrt{3}$、そのときの$\theta$は$\frac{\pi}{6}$。

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3. 最終的な答え

(1) 最大値：2 ($x = \sqrt{2}$)、最小値：-2 ($x = -\sqrt{2}$)

(2) 最大値：$\frac{\pi}{2}$ ($x = \frac{\pi}{2}$)、最小値：$-\frac{3\pi}{2}$ ($x = \frac{3\pi}{2}$)

(3) 最大値：$3\sqrt{3}$、$\theta = \frac{\pi}{6}$