関数 $f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$ について、(1)で$t=\log_2 x$とするときに$f(x)$を$t$の式で表す。(2)では関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$ について、(1)で$t=\log_2 x$とするときに$f(x)$を$t$の式で表す。(2)では関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず$f(x)$を$t$で表すことを考える。

$f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{t}{2}$

$\log_2 x^2 = 2 \log_2 x = 2t$

よって、$f(x) = -4(\frac{t}{2})^2 + 4(2t) - 12 = -4(\frac{t^2}{4}) + 8t - 12 = -t^2 + 8t - 12$

$f(x) = -t^2 + 8t - 12 = -(t^2 - 8t) - 12 = -(t^2 - 8t + 16 - 16) - 12 = -(t-4)^2 + 16 - 12 = -(t-4)^2 + 4$

$f(x) = -(t-4)^2 + 4$

(2) $f(x) = -(t-4)^2 + 4$ より、$f(x)$が最大となるのは$t=4$のときで、最大値は$4$となる。

$t = \log_2 x = 4$ であるから、$x = 2^4 = 16$

よって、$f(x)$の最大値は$4$であり、そのときの$x$の値は$16$である。

3. 最終的な答え

$f(x)$の最大値は$4$であり、そのときの$x$の値は$16$である。