定積分 $\int_{2}^{4} (x-2)(x-4) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{4} (x-2)(x-4) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の関数を展開します。

$(x-2)(x-4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$

次に、この関数を積分します。

$\int (x^2 - 6x + 8) dx = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + C$

ここで、$C$は積分定数です。定積分なので積分定数は無視できます。

定積分を計算するために、積分範囲の上限と下限を代入し、その差を求めます。

$\left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x \right]_{2}^{4} = \left( \frac{1}{3}(4)^3 - 3(4)^2 + 8(4) \right) - \left( \frac{1}{3}(2)^3 - 3(2)^2 + 8(2) \right)$

$= \left( \frac{64}{3} - 48 + 32 \right) - \left( \frac{8}{3} - 12 + 16 \right)$

$= \left( \frac{64}{3} - 16 \right) - \left( \frac{8}{3} + 4 \right)$

$= \frac{64}{3} - 16 - \frac{8}{3} - 4$

$= \frac{56}{3} - 20$

$= \frac{56}{3} - \frac{60}{3}$

$= -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3}$