与えられた微分方程式の初期値問題を解く。変数分離法を用いて解き、初期条件を満たす解を求める。具体的には、以下の5つの問題を解きます。 (1) $yy' = x^5, y(1) = 2$ (2) $\cos(3x)dx + dy = 0, y(0) = 3$ (3) $x\frac{dy}{dx} + y = 1, y(1) = 0$ (4) $xy' = 2, (x > 0), y(1) = 2$ (5) $(x-1)^2 dx = dy, y(0) = 1$

はい、承知いたしました。以下の形式で微分方程式の初期値問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の初期値問題を解く。変数分離法を用いて解き、初期条件を満たす解を求める。具体的には、以下の5つの問題を解きます。

(1) $yy' = x^5, y(1) = 2$

(2) $\cos(3x)dx + dy = 0, y(0) = 3$

(3) $x\frac{dy}{dx} + y = 1, y(1) = 0$

(4) $xy' = 2, (x > 0), y(1) = 2$

(5) $(x-1)^2 dx = dy, y(0) = 1$

2. 解き方の手順

(1) $yy' = x^5, y(1) = 2$

$y\frac{dy}{dx} = x^5$

$\int y dy = \int x^5 dx$

$\frac{y^2}{2} = \frac{x^6}{6} + C$

$y^2 = \frac{x^6}{3} + 2C$

初期条件 $y(1) = 2$ を代入する:

$2^2 = \frac{1^6}{3} + 2C$

$4 = \frac{1}{3} + 2C$

$2C = \frac{11}{3}$

$y^2 = \frac{x^6}{3} + \frac{11}{3}$

$y = \sqrt{\frac{x^6 + 11}{3}}$ （初期条件より$y$は正である必要がある）

(2) $\cos(3x)dx + dy = 0, y(0) = 3$

$dy = -\cos(3x) dx$

$\int dy = -\int \cos(3x) dx$

$y = -\frac{1}{3}\sin(3x) + C$

初期条件 $y(0) = 3$ を代入する:

$3 = -\frac{1}{3}\sin(0) + C$

$C = 3$

$y = -\frac{1}{3}\sin(3x) + 3$

(3) $x\frac{dy}{dx} + y = 1, y(1) = 0$

$x\frac{dy}{dx} + y = 1$

$\frac{d}{dx}(xy) = 1$

$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int 1 dx$

$xy = x + C$

$y = 1 + \frac{C}{x}$

初期条件 $y(1) = 0$ を代入する:

$0 = 1 + \frac{C}{1}$

$C = -1$

$y = 1 - \frac{1}{x}$

(4) $xy' = 2, (x > 0), y(1) = 2$

$x\frac{dy}{dx} = 2$

$dy = \frac{2}{x} dx$

$\int dy = \int \frac{2}{x} dx$

$y = 2\ln|x| + C$

$x > 0$ なので、$y = 2\ln x + C$

初期条件 $y(1) = 2$ を代入する:

$2 = 2\ln(1) + C$

$2 = 0 + C$

$C = 2$

$y = 2\ln x + 2$

(5) $(x-1)^2 dx = dy, y(0) = 1$

$dy = (x-1)^2 dx$

$\int dy = \int (x-1)^2 dx$

$y = \frac{(x-1)^3}{3} + C$

初期条件 $y(0) = 1$ を代入する:

$1 = \frac{(0-1)^3}{3} + C$

$1 = -\frac{1}{3} + C$

$C = \frac{4}{3}$

$y = \frac{(x-1)^3}{3} + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \sqrt{\frac{x^6 + 11}{3}}$

(2) $y = -\frac{1}{3}\sin(3x) + 3$

(3) $y = 1 - \frac{1}{x}$

(4) $y = 2\ln x + 2$

(5) $y = \frac{(x-1)^3}{3} + \frac{4}{3}$