$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$を$\sin\theta$と$\cos\theta$を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$を$\sin\theta$と$\cos\theta$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を利用して、それぞれの$\sin$の項を展開します。

加法定理は以下の通りです。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

これを用いて、与えられた式を展開すると、

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = \sin\theta \cos(\frac{2}{3}\pi) + \cos\theta \sin(\frac{2}{3}\pi)$

$\sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = \sin\theta \cos(\frac{4}{3}\pi) + \cos\theta \sin(\frac{4}{3}\pi)$

となります。

$\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

これらの値を代入すると、

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$\sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

したがって、

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = (-\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) + (-\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta)$

$= -\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta -\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$= -\sin\theta$

3. 最終的な答え

$-\sin\theta$