与えられた三角関数の式を簡略化します。 与えられた式は $\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を簡略化します。

与えられた式は $\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ です。

2. 解き方の手順

三角関数の和の公式を用います。

$\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$

ここで、$A = \theta + \frac{2}{3}\pi$、$B = \theta + \frac{4}{3}\pi$ とおきます。

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\theta + \frac{2}{3}\pi) + (\theta + \frac{4}{3}\pi)}{2} = \frac{2\theta + 2\pi}{2} = \theta + \pi$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\theta + \frac{2}{3}\pi) - (\theta + \frac{4}{3}\pi)}{2} = \frac{-\frac{2}{3}\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}$

したがって、

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = 2 \sin(\theta + \pi) \cos(-\frac{\pi}{3})$

$\sin(\theta + \pi) = - \sin(\theta)$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$2 \sin(\theta + \pi) \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2 (-\sin(\theta)) (\frac{1}{2}) = - \sin(\theta)$

3. 最終的な答え

$-\sin(\theta)$