与えられた式 $ \frac{1}{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin (\theta + \frac{4}{3} \pi) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\theta + \frac{\pi}{4}) $ を計算し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin (\theta + \frac{4}{3} \pi) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\theta + \frac{\pi}{4})$ を計算し、簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を用いる。

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

(1) $\frac{1}{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{3})$ を展開する。

$\frac{1}{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} (\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} (\sin \theta \cdot \frac{1}{2} - \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos \theta$

(2) $\sin (\theta + \frac{4}{3} \pi)$ を展開する。

$\sin (\theta + \frac{4}{3} \pi) = \sin \theta \cos \frac{4}{3} \pi + \cos \theta \sin \frac{4}{3} \pi = \sin \theta \cdot (-\frac{1}{2}) + \cos \theta \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\theta + \frac{\pi}{4})$ を展開する。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta$

(4) 全てを足し合わせる。

$(\frac{1}{4} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos \theta) + (-\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) + (\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) \sin \theta + (-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) \cos \theta = (\frac{1 - 2 - 2}{4}) \sin \theta + (\frac{-\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 2}{4}) \cos \theta = -\frac{3}{4} \sin \theta + \frac{2 - 3\sqrt{3}}{4} \cos \theta$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4} \sin \theta + \frac{2 - 3\sqrt{3}}{4} \cos \theta$