母平均 $\mu = 80$, 母標準偏差 $\sigma = 60$ の母集団から標本を抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ が $70 \le \bar{X} \le 90$ の範囲に入る確率が $P(70 \le \bar{X} \le 90) \ge 0.9544$ を満たすようにしたい。この条件を満たす最小の標本サイズ $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

母平均 $\mu = 80$, 母標準偏差 $\sigma = 60$ の母集団から標本を抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ が $70 \le \bar{X} \le 90$ の範囲に入る確率が $P(70 \le \bar{X} \le 90) \ge 0.9544$ を満たすようにしたい。この条件を満たす最小の標本サイズ $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$P(70 \le \bar{X} \le 90) \ge 0.9544$ を標準化します。

標本平均 $\bar{X}$ の分布は、中心極限定理より平均 $\mu = 80$, 標準偏差 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{60}{\sqrt{n}}$ の正規分布に従うとみなせます。

標準化変数 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 80}{60/\sqrt{n}}$ を用います。

$P(70 \le \bar{X} \le 90) = P(\frac{70 - 80}{60/\sqrt{n}} \le \frac{\bar{X} - 80}{60/\sqrt{n}} \le \frac{90 - 80}{60/\sqrt{n}}) = P(-\frac{10\sqrt{n}}{60} \le Z \le \frac{10\sqrt{n}}{60}) = P(-\frac{\sqrt{n}}{6} \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{6})$

ここで、$P(-\frac{\sqrt{n}}{6} \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{6}) \ge 0.9544$ です。

標準正規分布表から、$P(-2 \le Z \le 2) = 0.9544$ であることがわかります。

したがって、$\frac{\sqrt{n}}{6} \ge 2$ となる必要があります。

$\frac{\sqrt{n}}{6} \ge 2$

$\sqrt{n} \ge 12$

$n \ge 144$

3. 最終的な答え

144つ以上