$xy$平面内で作用する以下の力について、ポテンシャルが存在する場合はそれを求め、存在しない場合は「非保存力」と答えます。基準点は$(0, 0)$です。 (1) 一様に鉛直下向きに作用する力 $F = -j$ (2) 点$(x, y)$において作用する力 $F = -xi$ (3) 点$(x, y)$において作用する力 $F = -xj$ (4) 速度に比例する力 $F = -(v_x i + v_y j)$ (5) 動摩擦力

1. 問題の内容

$xy$平面内で作用する以下の力について、ポテンシャルが存在する場合はそれを求め、存在しない場合は「非保存力」と答えます。基準点は$(0, 0)$です。

(1) 一様に鉛直下向きに作用する力 $F = -j$

(2) 点$(x, y)$において作用する力 $F = -xi$

(3) 点$(x, y)$において作用する力 $F = -xj$

(4) 速度に比例する力 $F = -(v_x i + v_y j)$

(5) 動摩擦力

2. 解き方の手順

ポテンシャルが存在するための条件は、$\nabla \times F = 0$ (2次元の場合、$\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial y}$)が成り立つことです。ポテンシャルが存在する場合、$F = -\nabla U$ (2次元の場合、$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}, F_y = -\frac{\partial U}{\partial y}$)を満たすポテンシャル$U$を求めます。

(1) $F = (0, -1)$なので、$\frac{\partial F_y}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$。よって、$\nabla \times F = 0$を満たします。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = 0$より、$U(x, y) = f(y)$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -1$より、$\frac{\partial U}{\partial y} = 1$。よって、$U(x, y) = y + C$。基準点を$(0, 0)$とすると、$U(0, 0) = 0 + C = 0$より、$C = 0$。

したがって、$U(x, y) = y$

(2) $F = (-x, 0)$なので、$\frac{\partial F_y}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$。よって、$\nabla \times F = 0$を満たします。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -x$より、$\frac{\partial U}{\partial x} = x$。よって、$U(x, y) = \frac{1}{2}x^2 + f(y)$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = 0$より、$\frac{\partial U}{\partial y} = 0$。よって、$f(y) = C$。基準点を$(0, 0)$とすると、$U(0, 0) = \frac{1}{2}(0)^2 + C = 0$より、$C = 0$。

したがって、$U(x, y) = \frac{1}{2}x^2$

(3) $F = (0, -x)$なので、$\frac{\partial F_y}{\partial x} = -1$, $\frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$。よって、$\nabla \times F \ne 0$を満たしません。したがって、非保存力です。

(4) $F = (-v_x, -v_y)$。$\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial (-v_y)}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial (-v_x)}{\partial y} = 0$。 よって、$\nabla \times F = 0$を満たします。ただし、$v_x = \frac{dx}{dt}$, $v_y = \frac{dy}{dt}$であることに注意します。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -v_x$より、$\frac{\partial U}{\partial x} = v_x$。よって、$U = v_x x + f(y)$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -v_y$より、$\frac{\partial U}{\partial y} = v_y$。よって、$f'(y) = v_y$。すると、$U = v_x x + v_y y$ となってしまいますが、ポテンシャルは位置の関数である必要があり、速度の関数であってはいけません。したがって、これは非保存力です。

(5) 動摩擦力は速度に依存し、向きが速度と反対なので、非保存力です。

3. 最終的な答え

(1) $y$

(2) $\frac{1}{2}x^2$

(3) 非保存力

(4) 非保存力

(5) 非保存力