与えられた式 $(x-2y)^5 [x^2y^3]$ を展開し、整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-2y)^5 [x^2y^3]$ を展開し、整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、二項定理を用いて$(x-2y)^5$を展開します。

$(x-2y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-2y)^k$

$= \binom{5}{0} x^5 (-2y)^0 + \binom{5}{1} x^4 (-2y)^1 + \binom{5}{2} x^3 (-2y)^2 + \binom{5}{3} x^2 (-2y)^3 + \binom{5}{4} x^1 (-2y)^4 + \binom{5}{5} x^0 (-2y)^5$

$= x^5 + 5 x^4 (-2y) + 10 x^3 (4y^2) + 10 x^2 (-8y^3) + 5 x (16y^4) + (-32y^5)$

$= x^5 - 10 x^4 y + 40 x^3 y^2 - 80 x^2 y^3 + 80 x y^4 - 32 y^5$

次に、この展開した式に$x^2y^3$を掛けます。

$(x^5 - 10 x^4 y + 40 x^3 y^2 - 80 x^2 y^3 + 80 x y^4 - 32 y^5)(x^2y^3)$

$= x^7 y^3 - 10 x^6 y^4 + 40 x^5 y^5 - 80 x^4 y^6 + 80 x^3 y^7 - 32 x^2 y^8$

3. 最終的な答え

$x^7y^3 - 10x^6y^4 + 40x^5y^5 - 80x^4y^6 + 80x^3y^7 - 32x^2y^8$