多項式 $A$ を $x^2 + x - 3$ で割ると、商が $4x - 1$ で、余りが $13x - 5$ となるような $A$ を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $A$ を $x^2 + x - 3$ で割ると、商が $4x - 1$ で、余りが $13x - 5$ となるような $A$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

割り算の基本の関係式を利用します。割られる数 $A$ は、割る数、商、余りを用いて次のように表されます。

$A = (\text{割る数}) \times (\text{商}) + (\text{余り})$

この問題の場合、

割る数: $x^2 + x - 3$

商: $4x - 1$

余り: $13x - 5$

です。したがって、$A$ は次のように計算できます。

$A = (x^2 + x - 3)(4x - 1) + (13x - 5)$

まず、$(x^2 + x - 3)(4x - 1)$ を展開します。

$(x^2 + x - 3)(4x - 1) = x^2(4x - 1) + x(4x - 1) - 3(4x - 1) = 4x^3 - x^2 + 4x^2 - x - 12x + 3 = 4x^3 + 3x^2 - 13x + 3$

次に、この結果に余りを加えます。

$A = (4x^3 + 3x^2 - 13x + 3) + (13x - 5) = 4x^3 + 3x^2 - 13x + 13x + 3 - 5 = 4x^3 + 3x^2 - 2$

3. 最終的な答え

$A = 4x^3 + 3x^2 - 2$