ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 0)$ と $\vec{b} = (0, 5, -\sqrt{7})$ が与えられています。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ (ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 0)$ と $\vec{b} = (0, 5, -\sqrt{7})$ が与えられています。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ (ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 内積の計算

ベクトルの内積は、対応する成分の積の和で計算されます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(0) + (4)(5) + (0)(-\sqrt{7}) = 0 + 20 + 0 = 20$

(2) なす角の計算

ベクトルのなす角 $\theta$ は、内積とベクトルの大きさを用いて次の式で求められます。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

まず、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + (-\sqrt{7})^2} = \sqrt{0 + 25 + 7} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

次に、$\cos \theta$ を計算します。

$\cos \theta = \frac{20}{5 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{20}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = 45^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 20$

(2) $\theta = 45^\circ$