鋭角三角形OABにおいて、辺ABを1:2に内分する点をC、頂点Aから辺OBへ下ろした垂線をADとする。線分OCとADの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。 (2) $\vec{OD} = t\vec{b}$ (0 < t < 1) とするとき、$\vec{t}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。 (3) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

鋭角三角形OABにおいて、辺ABを1:2に内分する点をC、頂点Aから辺OBへ下ろした垂線をADとする。線分OCとADの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

(2) $\vec{OD} = t\vec{b}$ (0 < t < 1) とするとき、$\vec{t}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

(3) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは辺ABを1:2に内分するので、内分点の公式より

$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(2) 点Dは直線OB上にあるので、$\vec{OD} = t\vec{b}$ と表せる。また、ADはOBへの垂線なので、$\vec{AD} \cdot \vec{OB} = 0$が成り立つ。

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = t\vec{b} - \vec{a}$であるから

$(t\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$t\vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$t|\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{b}$

$t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

(3) 点Pは直線OC上にあるので、実数kを用いて$\vec{OP} = k\vec{OC}$と表せる。

$\vec{OP} = k(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{2k}{3}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b}$

また、点Pは直線AD上にあるので、実数sを用いて$\vec{AP} = s\vec{AD}$と表せる。

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{a} + s(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} - \vec{a}) = (1-s)\vec{a} + s\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$

$\vec{OP}$の2つの表現より、

$\frac{2k}{3}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} = (1-s)\vec{a} + s\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{2k}{3} = 1-s$

$\frac{k}{3} = s\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

1つ目の式より、$s = 1 - \frac{2k}{3}$

これを2つ目の式に代入して、

$\frac{k}{3} = (1-\frac{2k}{3})\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

$\frac{k}{3} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} - \frac{2k}{3}\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

$\frac{k}{3} + \frac{2k}{3}\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

$k(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

$k = \frac{\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}}{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\frac{1}{3}|\vec{b}|^2 + \frac{2}{3}\vec{a} \cdot \vec{b}} = \frac{3(\vec{a} \cdot \vec{b})}{|\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{3(\vec{a} \cdot \vec{b})}{|\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}}(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{|\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}}\vec{a} + \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(2) $t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

(3) $\vec{OP} = \frac{2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{|\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}}\vec{a} + \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}}\vec{b}$