## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHがあり、辺ABの中点をMとする。線分MGの長さを求め、∠DGMを求め、△DGMの面積を求め、四面体CDMGの体積を求め、頂点Cから平面DGMに下ろした垂線CPの長さを求める。

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2. 解き方の手順

(1) MGの長さ

MGは直角三角形MAGの斜辺である。

AM = AB/2 = 2/2 = 1

AGは立方体の面ABCDの対角線なので、AG = $2\sqrt{2}$

したがって、

$MG = \sqrt{AM^2 + AG^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

(2) ∠DGM

DGは立方体の面CDHGの対角線なので、DG = $2\sqrt{2}$

DM = $\sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$

△DGMにおいて、DG = $2\sqrt{2}$、DM = MG = $\sqrt{5}$である。余弦定理を用いて∠DGMを求める。

$DG^2 = DM^2 + MG^2 - 2 \cdot DM \cdot MG \cdot \cos{\angle DGM}$

$(2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{\angle DGM}$

$8 = 5 + 5 - 10 \cos{\angle DGM}$

$10 \cos{\angle DGM} = 2$

$\cos{\angle DGM} = \frac{1}{5}$

$\angle DGM = \arccos{\frac{1}{5}}$

$\arccos{\frac{1}{5}} \approx 78.463$

∠DGM $\approx 78$

(3) △DGMの面積

△DGMの面積をSとする。

$S = \frac{1}{2} DM \cdot MG \cdot \sin{\angle DGM}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 - \cos^2{\angle DGM}} = \frac{5}{2} \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \sqrt{6}$

(4) 四面体CDMGの体積

四面体CDMGの体積は、底面を△CDM、高さをCGとする三角錐の体積に等しい。

△CDMの面積は、$\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$

したがって、四面体CDMGの体積は、$\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{3}$

(5) 頂点Cから平面DGMに下ろした垂線CPの長さ

四面体CDMGの体積Vは、$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle DGMの面積) \cdot CP$で表せる。

$\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot CP$

$CP = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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3. 最終的な答え

MGの長さ: $\sqrt{5}$

∠DGM: 78度

△DGMの面積: $\sqrt{6}$

四面体CDMGの体積: $\frac{2}{3}$

垂線CPの長さ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$