$0 \le \theta \le \pi$ とする。定数 $a$ に対し、関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin 2\theta - 2\cos 2\theta - 4a(\sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta) + 4$ が与えられている。$t = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $a$ と $t$ の式で表し、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ とする。定数 $a$ に対し、関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin 2\theta - 2\cos 2\theta - 4a(\sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta) + 4$ が与えられている。$t = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $a$ と $t$ の式で表し、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t^2$ を計算する。

$t^2 = (\sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta)^2 = 3\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$t^2 = 2\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$

$t^2 = 2\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta + 1$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ であるから、$\sqrt{3}\sin 2\theta = 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta$ となる。

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、$2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ となる。

よって、$t^2 = 1 - \cos 2\theta + \sqrt{3}\sin 2\theta + 1$

$t^2 - 2 = \sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta$

$2(t^2 - 2) = 2\sqrt{3}\sin 2\theta - 2\cos 2\theta$

したがって、$f(\theta) = 2(t^2 - 2) - 4at + 4 = 2t^2 - 4 - 4at + 4 = 2t^2 - 4at$

$f(\theta) = 2t^2 - 4at$

次に、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

$t = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta \right) = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta + \sin \frac{\pi}{6} \cos \theta \right) = 2\sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right)$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7}{6}\pi$

よって、$-1/2 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le 1$

$-1 \le 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le 2$ となるわけではない。なぜなら、$1 \ge \sin (\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \sin (\frac{\pi}{6}) = 1/2$ であるから。

したがって、$\frac{1}{2} \le \sin (\theta + \frac{\pi}{6}) \le 1$

よって、$1 \le t \le 2$

3. 最終的な答え

$f(\theta) = 2t^2 - 4at$

$1 \le t \le 2$