与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1(n-1) + 2(n-2) + 3(n-3) + \cdots + (n-1)(1)}{n^3} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{n \to \infty} \frac{1(n-1) + 2(n-2) + 3(n-3) + \cdots + (n-1)(1)}{n^3}

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2. 解き方の手順

まず、分子の和をシグマ記号を用いて表します。

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\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) = \sum_{k=1}^{n-1} (nk - k^2) = n\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2

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ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ を用います。

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n\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}

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= \frac{3n^2(n-1) - n(n-1)(2n-1)}{6} = \frac{3n^3 - 3n^2 - (2n^3 - 3n^2 + n)}{6}

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= \frac{3n^3 - 3n^2 - 2n^3 + 3n^2 - n}{6} = \frac{n^3 - n}{6}

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したがって、与えられた極限は

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\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3 - n}{6}}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - n}{6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{6}

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$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$ なので

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\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{1 - 0}{6} = \frac{1}{6}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$