$\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(x)$ は、$\sin(\theta) = x$ となる $\theta$ を求める関数です。ただし、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。

つまり、$\sin(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で探します。

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であることはよく知られています。

また、$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ という性質があります。

したがって、$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$-\frac{\pi}{4}$ は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲に含まれるため、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ が求める解となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{4}$