直線 $y = -3x + k$ が円 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ と異なる2点で交わるときの $k$ の値の範囲を求める問題。さらに、2つの交点を結ぶ線分の長さが最大になるような $k$ の値と、そのときの2つの交点の $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = -3x + k$ が円 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ と異なる2点で交わるときの $k$ の値の範囲を求める問題。さらに、2つの交点を結ぶ線分の長さが最大になるような $k$ の値と、そのときの2つの交点の $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を変形する。

$x^2 + y^2 + 4y = 0$

$x^2 + (y+2)^2 - 4 = 0$

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

この円は、中心 $(0, -2)$ 、半径 $2$ の円である。

(2) 直線と円が異なる2点で交わる条件を求める。

直線 $y = -3x + k$ と円 $x^2 + (y+2)^2 = 4$ の交点を求める。

直線の式を円の式に代入する。

$x^2 + (-3x + k + 2)^2 = 4$

$x^2 + (9x^2 - 6(k+2)x + (k+2)^2) = 4$

$10x^2 - 6(k+2)x + (k+2)^2 - 4 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-6(k+2))^2 - 4 \cdot 10 \cdot ((k+2)^2 - 4)$

$D = 36(k+2)^2 - 40(k+2)^2 + 160$

$D = -4(k+2)^2 + 160$

$D > 0$ より、$-4(k+2)^2 + 160 > 0$

$(k+2)^2 < 40$

$-\sqrt{40} < k+2 < \sqrt{40}$

$-2\sqrt{10} < k+2 < 2\sqrt{10}$

$-2 - 2\sqrt{10} < k < -2 + 2\sqrt{10}$

(3) 2つの交点を結ぶ線分の長さが最大になるのは、直線が円の中心を通るときである。

このとき、直線は円の中心 $(0, -2)$ を通るので、$-2 = -3(0) + k$ より、 $k = -2$

(4) $k = -2$ のときの交点の $x$ 座標を求める。

$10x^2 - 6(-2+2)x + (-2+2)^2 - 4 = 0$

$10x^2 - 4 = 0$

$x^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$k$ の値の範囲: $-2 - 2\sqrt{10} < k < -2 + 2\sqrt{10}$

線分の長さが最大となる $k$ の値: $k = -2$

そのときの2つの交点の $x$ 座標: $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $x = -\frac{\sqrt{10}}{5}$