放物線 $C: y = x^2 - 2x + 3$ 上の点Pと、原点O、点A(2, 0)を頂点とする三角形OAPの重心をGとする。線分GPの中点をMとする時、点PがC上を動く時の点Mの軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 3$ 上の点Pと、原点O、点A(2, 0)を頂点とする三角形OAPの重心をGとする。線分GPの中点をMとする時、点PがC上を動く時の点Mの軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(s, t)$ とする。点Pは放物線C上にあるので、$t = s^2 - 2s + 3$ が成り立つ。

三角形OAPの頂点は、O(0, 0), A(2, 0), P(s, t) であるから、重心Gの座標は $(\frac{0+2+s}{3}, \frac{0+0+t}{3})$、すなわち $(\frac{s+2}{3}, \frac{t}{3})$ となる。

点Mは線分GPの中点なので、点Mの座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{\frac{s+2}{3} + s}{2} = \frac{4s+2}{6} = \frac{2s+1}{3}$

$y = \frac{\frac{t}{3} + t}{2} = \frac{4t}{6} = \frac{2t}{3}$

となる。

上記の式から $s$ と $t$ を $x$ と $y$ で表すと、

$s = \frac{3x-1}{2}$

$t = \frac{3y}{2}$

点Pは放物線C上にあるので、$t = s^2 - 2s + 3$ に代入すると、

$\frac{3y}{2} = (\frac{3x-1}{2})^2 - 2(\frac{3x-1}{2}) + 3$

$\frac{3y}{2} = \frac{9x^2 - 6x + 1}{4} - \frac{6x-2}{2} + 3$

$\frac{3y}{2} = \frac{9x^2 - 6x + 1 - 12x + 4 + 12}{4}$

$\frac{3y}{2} = \frac{9x^2 - 18x + 17}{4}$

$6y = 9x^2 - 18x + 17$

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$