与えられた行列を簡約化し、正則性を調べ、正則であれば逆行列を求める問題です。与えられた行列は $ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた行列を簡約化し、正則性を調べ、正則であれば逆行列を求める問題です。与えられた行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -2 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

(1) 行列を簡約化する。

(2) 行列の正則性を調べる(行列式を計算する)。行列式が0でなければ正則である。

(3) 正則であれば、逆行列を求める。

まず、与えられた行列をAとおきます。

$$

A = \begin{pmatrix}

2 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -2 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

簡約化するために、行基本変形を行います。

1. 1行目と3行目を入れ替える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -2 \\

2 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

2. 3行目から1行目の2倍を引く。($R_3 \to R_3 - 2R_1$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -2 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

3. 2行目に-1を掛ける。($R_2 \to -R_2$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 2 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

4. 4行目から2行目を引く。($R_4 \to R_4 - R_2$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 2 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

5. 3行目に-1を掛ける。($R_3 \to -R_3$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

6. 1行目から3行目を引く。($R_1 \to R_1 - R_3$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

7. 2行目に3行目を足す。($R_2 \to R_2 + R_3$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

8. 2行目から4行目の2倍を引く。($R_2 \to R_2 - 2R_4$)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

簡約化された行列は単位行列Iとなりました。よって、行列Aは正則です。

逆行列を求めるために、(A|I)の形を作り、簡約化して(I|A^{-1})の形にする。

上記で行基本変形を行って、Aを単位行列に変換したので、その操作を単位行列Iにも行えば逆行列が得られます。しかし、上記の結果から、Aを簡約化すると単位行列になることがわかっています。これはすなわち、Aが既に基本行列の積で表されていることを意味します。

そのため、行列式を計算する方が簡単です。

$det(A) = 2 * (-1) * 1 * 3 + 2 * 1 * 1 * 0 + 0 * 1 * 1 * 0 - 1 * (-1) * 1 * 0 - 2 * 1 * 1 * 0 - 0 * 0 * (-1) * 3 = -6$

$A^{-1} = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

-1 & 0 & 2 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

-1 & 0 & 2 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}C^T = -1/6 C^T$

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 0 \\

-1 & 2 & -2 & 1 \\

1 & 1 & -1 & 0

\end{pmatrix}

$$

元の行列の正則性を確認するために、行列式を計算します。

$det(A) = 2 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 3 + 0 + 0 - (1 \cdot (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 0 + 0 )= -6$

行列式が0ではないので、Aは正則行列です。

逆行列を求める。掃き出し法を行う。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -2 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3 & | & 0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

$\to$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & | & -1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & | & 1/3 & -1/3 & -1/6 & 1/3 \\

0 & 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & | & 1/6 & 1/3 & 1/12 & 1/3

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

行列Aは正則であり、その逆行列は

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix}

-1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\

1/3 & -1/3 & -1/6 & 1/3 \\

1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\

1/6 & 1/3 & 1/12 & 1/3

\end{pmatrix}

$$