一辺の長さが2の立方体の8つの角を、各辺の中点を通る平面で切り取ってできる多面体について、面の数、頂点の数、辺の数、体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体の8つの角を、各辺の中点を通る平面で切り取ってできる多面体について、面の数、頂点の数、辺の数、体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 面の数

元の立方体の面は6つあります。

各頂点を切り取ることによって、正三角形の面が8つ増えます。

したがって、面の数は $6 + 8 = 14$ です。

(2) 頂点の数

元の立方体の各頂点は切り取られて、3つの頂点になります。

元の立方体の頂点は8つなので、頂点の数は $8 \times 3 = 24$ です。

(3) 辺の数

元の立方体の辺は12本あります。

各頂点を切り取ることによって、各頂点に3本の辺が増えます。したがって、増える辺の数は $8 \times 3 = 24$ です。

元の立方体の各辺は、切り取られた多面体においては、元の立方体の辺の中点が２つの頂点になっている辺であるため、変わらず12本のままです。

しかし、各頂点が切り取られることで、そこに新たに３本の辺ができます。それが8つの頂点があるので、3×8=24本の辺が増えることになります。

したがって、辺の数は $12 + 24 = 36$ です。

(4) 体積

元の立方体の体積は $2^3 = 8$ です。

各頂点から切り取られる三角錐は、底面が直角二等辺三角形（各辺の長さは1）で、高さが1の三角錐なので、その体積は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1 = \frac{1}{6}$ です。

切り取られる三角錐は8つあるので、切り取られる体積の合計は $\frac{1}{6} \times 8 = \frac{4}{3}$ です。

したがって、多面体の体積は $8 - \frac{4}{3} = \frac{24}{3} - \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$ です。

3. 最終的な答え

面の数：14個

頂点の数：24個

辺の数：36個

体積：$\frac{20}{3}$