一辺の長さが2の立方体の8つの角を、各辺の中点を通る平面で切り取ってできる多面体の面の数、頂点の数、辺の数、体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体の8つの角を、各辺の中点を通る平面で切り取ってできる多面体の面の数、頂点の数、辺の数、体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、立方体の各頂点を切り取ると、そこに正三角形が現れます。元の立方体には6つの面があり、8つの頂点があるので、切り取った後の多面体は、6つの正方形と8つの正三角形からなる14面体となります。

次に、頂点の数を考えます。元の立方体の各頂点は、切り取られることによって3つの頂点になります。したがって、頂点の数は $8 \times 3 = 24$ 個となります。

次に、辺の数を考えます。元の立方体には12個の辺があります。各頂点を切り取ることによって、各頂点に3つの新しい辺ができます。したがって、辺の数は元の立方体の辺の数12個と、切り取られることによってできた新しい辺の数 $8 \times 3 / 2 = 12$ 個を足して、$12+12=36$ となります。頂点を切り取ったことでできた正三角形は３つの辺を持つので、頂点の数×3/2で計算できます。

最後に、体積を考えます。元の立方体の体積は $2^3 = 8$ です。各頂点を切り取ることによって、四面体が切り取られます。切り取られる四面体は、底面が直角二等辺三角形で、高さが1の三角錐です。この三角錐の体積は、$(1/2 \times 1 \times 1) \times 1 \times (1/3) = 1/6$ です。そのような三角錐が8個切り取られるので、切り取られる体積の合計は $8 \times (1/6) = 4/3$ です。したがって、多面体の体積は $8 - 4/3 = 24/3 - 4/3 = 20/3$ となります。

3. 最終的な答え

面の数: 14

頂点の数: 24

辺の数: 36

体積: 20/3