2次方程式 $x^2 + kx + 2k = 0$ が重解を持つように $k$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + kx + 2k = 0$ が重解を持つように $k$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題の2次方程式の判別式 $D$ を求めます。$x^2 + kx + 2k = 0$ なので、$a = 1$, $b = k$, $c = 2k$ を代入すると、

$D = k^2 - 4(1)(2k) = k^2 - 8k$

2次方程式が重解を持つための条件は $D = 0$ であるので、

$k^2 - 8k = 0$

これを解くと、

$k(k - 8) = 0$

よって、$k = 0$ または $k = 8$ となります。

(i) $k = 0$ のとき、方程式は $x^2 + 0x + 2(0) = 0$、つまり $x^2 = 0$ となります。このとき、解は $x = 0$ です。

(ii) $k = 8$ のとき、方程式は $x^2 + 8x + 2(8) = 0$、つまり $x^2 + 8x + 16 = 0$ となります。これは $(x + 4)^2 = 0$ と変形できるので、解は $x = -4$ です。

3. 最終的な答え

判別式 $D = k^2 - 8k$.

$k^2 - 8k = 0$ を解くと、$k = 0, 8$.

(i) $k = 0$ のとき、$x^2 = 0$ なので、$x = 0$.

(ii) $k = 8$ のとき、$x^2 + 8x + 16 = 0$ なので、$x = -4$.