$\triangle ABC$ の辺 $AB$, $BC$, $CA$ を $2:1$ に内分する点をそれぞれ $A_1$, $B_1$, $C_1$ とする。さらに、$\triangle A_1B_1C_1$ の辺 $A_1B_1$, $B_1C_1$ を $2:1$ に内分する点をそれぞれ $A_2$, $B_2$ とする。このとき、$A_2B_2 // AB$ であることを示す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の辺 $AB$, $BC$, $CA$ を $2:1$ に内分する点をそれぞれ $A_1$, $B_1$, $C_1$ とする。さらに、$\triangle A_1B_1C_1$ の辺 $A_1B_1$, $B_1C_1$ を $2:1$ に内分する点をそれぞれ $A_2$, $B_2$ とする。このとき、$A_2B_2 // AB$ であることを示す。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$ とする。

$A_1, B_1, C_1$ はそれぞれ $AB, BC, CA$ を $2:1$ に内分するので、

$\vec{a_1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

$\vec{b_1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{c_1} = \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3}$

$A_2, B_2$ はそれぞれ $A_1B_1, B_1C_1$ を $2:1$ に内分するので、

$\vec{a_2} = \frac{\vec{a_1} + 2\vec{b_1}}{3} = \frac{\frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} + 2\frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}}{3} = \frac{\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c}}{9}$

$\vec{b_2} = \frac{\vec{b_1} + 2\vec{c_1}}{3} = \frac{\frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} + 2\frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3}}{3} = \frac{4\vec{a} + \vec{b} + 4\vec{c}}{9}$

$\vec{A_2B_2} = \vec{b_2} - \vec{a_2} = \frac{4\vec{a} + \vec{b} + 4\vec{c}}{9} - \frac{\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c}}{9} = \frac{3\vec{a} - 3\vec{b}}{9} = \frac{\vec{a} - \vec{b}}{3} = -\frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{1}{3}\vec{AB}$

よって、$\vec{A_2B_2} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$ となり、$A_2B_2 // AB$ が示された。

3. 最終的な答え

$A_2B_2 // AB$ である。