与えられた数式 $\frac{4a^2 - 1}{6a - 8 - a^2} \div \frac{2a^2 + 5a + 2}{a^2 - 8 - 2a}$ を簡略化して、最も簡単な形にすること。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{4a^2 - 1}{6a - 8 - a^2} \div \frac{2a^2 + 5a + 2}{a^2 - 8 - 2a}$ を簡略化して、最も簡単な形にすること。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を割り算から掛け算に変換します。

$\frac{4a^2 - 1}{6a - 8 - a^2} \div \frac{2a^2 + 5a + 2}{a^2 - 8 - 2a} = \frac{4a^2 - 1}{6a - 8 - a^2} \times \frac{a^2 - 8 - 2a}{2a^2 + 5a + 2}$

次に、各多項式を因数分解します。

$4a^2 - 1 = (2a - 1)(2a + 1)$

$6a - 8 - a^2 = -(a^2 - 6a + 8) = -(a - 2)(a - 4) = (2-a)(a-4)$

$a^2 - 8 - 2a = a^2 - 2a - 8 = (a - 4)(a + 2)$

$2a^2 + 5a + 2 = (2a + 1)(a + 2)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(2a - 1)(2a + 1)}{(2-a)(a-4)} \times \frac{(a - 4)(a + 2)}{(2a + 1)(a + 2)}$

共通の因子をキャンセルします。 $(2a+1)$ と $(a+2)$、$(a-4)$ がそれぞれキャンセルされます。

$\frac{(2a - 1)}{(2-a)} \times \frac{1}{1} = \frac{2a - 1}{2-a}$

3. 最終的な答え

$\frac{2a - 1}{2 - a}$