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与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{3}{\sqrt{10}+2}$ です。

代数学有理化分数根号
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は 310+2\frac{3}{\sqrt{10}+2} です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数 10−2\sqrt{10} - 2 を分子と分母の両方に掛けます。
310+2=310+2⋅10−210−2\frac{3}{\sqrt{10}+2} = \frac{3}{\sqrt{10}+2} \cdot \frac{\sqrt{10}-2}{\sqrt{10}-2}
分子を計算します。
3(10−2)=310−63(\sqrt{10}-2) = 3\sqrt{10} - 6
分母を計算します。
(10+2)(10−2)=(10)2−(2)2=10−4=6(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2) = (\sqrt{10})^2 - (2)^2 = 10 - 4 = 6
したがって、
310−66=3(10−2)6=10−22\frac{3\sqrt{10} - 6}{6} = \frac{3(\sqrt{10} - 2)}{6} = \frac{\sqrt{10} - 2}{2}

3. 最終的な答え

10−22\frac{\sqrt{10} - 2}{2}

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