7枚のカード(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)の中から5枚を選び、5つのマス目に1枚ずつ置く。 (1) 1, 2, 3, 4, 5 のカードを置く場合の置き方の総数を求める。 (2) カードの置き方の総数と、両端のカードが奇数であるような置き方の総数を求める。 (3) 中央のマス目に置いたカードの数が、選んだ5枚の中で最大となる置き方の総数と、少なくとも2枚のカードが偶数である置き方の総数を求める。

1. 問題の内容

7枚のカード(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)の中から5枚を選び、5つのマス目に1枚ずつ置く。

(1) 1, 2, 3, 4, 5 のカードを置く場合の置き方の総数を求める。

(2) カードの置き方の総数と、両端のカードが奇数であるような置き方の総数を求める。

(3) 中央のマス目に置いたカードの数が、選んだ5枚の中で最大となる置き方の総数と、少なくとも2枚のカードが偶数である置き方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1, 2, 3, 4, 5 のカードを置く場合

5枚のカードを5つのマス目に並べる順列なので、5! を計算する。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) カードの置き方

7枚から5枚を選ぶ組み合わせは $_7C_5$ であり、選んだ5枚を並べる順列は 5! なので、

全体の置き方の総数は $_7C_5 \times 5!$ である。

$_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$21 \times 5! = 21 \times 120 = 2520$

両端が奇数である場合

奇数は1, 3, 5, 7 の4枚、偶数は2, 4, 6 の3枚。

両端に奇数を置く方法は $4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの3つのマスには、残りの5枚から3枚を選んで並べるので、$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、両端が奇数の置き方は $12 \times 60 = 720$ 通り。

(3) 中央の数が最大となる場合

選んだ5枚のカードの中央のカードが最大となる場合を考える。

i) 中央が 7 の場合、残りの 4 つは 1, 2, 3, 4, 5, 6 から選び、並べる。$_6P_4=6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

ii) 中央が 6 の場合、残りの 4 つは 1, 2, 3, 4, 5 から選び、並べる。$_5P_4=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

iii) 中央が 5 の場合、残りの 4 つは 1, 2, 3, 4 から選び、並べる。$_4P_4=4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

iv) 中央が 4 の場合、残りの 4 つは 1, 2, 3 から選び、並べる。これは不可能

v) 中央が 3 の場合、残りの 4 つは 1, 2 から選び、並べる。これも不可能

vi) 中央が 2 の場合、残りの 4 つは 1 から選び、並べる。これも不可能

よって、360 + 120 + 24 = 504通り

少なくとも2枚が偶数である場合

全体から、偶数が一枚もない場合と、一枚だけの場合を引けば良い。

全体の置き方は 2520通り

偶数が一枚もない場合は、奇数5枚を選ぶことになる。奇数は1, 3, 5, 7 の4枚しかないので、そのような選び方は存在しない。よって0通り

偶数が一枚だけの場合は、奇数4枚と偶数1枚を選ぶ。奇数4枚の選び方は $_4C_4 = 1$ 通り。偶数1枚の選び方は $_3C_1 = 3$ 通り。

5枚の並べ方は 5! = 120 通り。

よって、$1 \times 3 \times 120 = 360$

したがって、少なくとも2枚が偶数である置き方は $2520 - 0 - 360 = 2160$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 全体：2520通り, 両端が奇数：720通り

(3) 中央が最大：504通り, 少なくとも2枚が偶数：2160通り